ირაკლი ჭელიშვილი 2014 წლიდან  თბილისის სამედიცინო აკადემიაში (თსა) იკავებს პროფესორის აკადემიურ თანამდებობას ქირურგიის მიმართულებით (ნეიროქირურგია).

ირაკლი ჭელიშვილმა 1991 წელს დაამთავრა თბილისის სახელმწიფო სამედიცინო ინსტიტუტის სამკურნალო ფაკულტეტი. 1991 – 1992 წლებში რესპუბლიკურ საავადმყოფოში გაიარა ინტერნატურა სპეციალობით „ნევროლოგია“.  2002 წელს ამავე უნივერსიტეტის მიერ  ირაკლი ჭელიშვილს მიენიჭა მედიცინის მეცნიერებათა კანდიდატის ხარისხი.

ამჟამად ირაკლი ჭელიშვილი არის მრავალპროფილიანი სამედიცინო ცენტრი “ინოვა”-ს ნეიროქირურგიული განყოფილების ხელმძღვანელი.

ირაკლი ჭელიშვილს კლინიკური საქმიანობის 23-წლიანი გამოცდილება გააჩნია. პროფესიული განვითარების კუთხით იგი აქტიურად იღებს მონაწილეობას როგორც ადგილობრივ, ისე საერთაშორისო კონფერენციებში.